Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r


Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
OP =√(OP’)2+(PP’)2
Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
r = √x2+y2
r2 = x2 + y2
x2 + y2 = r2


Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2 + y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2

contoh 1:
tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 3 dan berpusat di titik asal
penyelesaian:
x2 + y2 = 32
x2 + y2 = 9

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran.

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2


contoh 2:
tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 dengan pusat (3,-2)
penyelesaian:
(x-3)2 + (y+2)2 = 52
(x-3)2 + (y+2)2 = 25

Sifat-Sifat Logaritma

Tentunya masih ingat kan, pada postingan sebelumnya, Logaritma bagian 1 , telah dijelaskan sekilas tentang sifat-sifat logaritma. pada kesempatan kali ini, saya akan coba bahas tentang sifat-sifat logaritma secara lebih detail.

Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma, yaitu :

Sifat 1
alog x + alog y = alog xy
Contoh :
Sederhanakanlah !
a. 2log 4 + 2log 8
b. 3log (1/9) + 3log 81
c. 2log 2 + 2log 4
Jawab :
a. 2log 4 + 2log 8 = 2log 4 . 8 = 2log 32 = 5
b. 3log (1/9) + 3log 81= 3log (1/9). 81 = 3log 9 = 2
c. 2log 2 + 2log 4 = 2log 2 .4 = 2log 16 = 4

Sifat 2
alog x – alog y = alog (x/y)
Contoh:
Sederhanakanlah!
a. 2log 16 – 2 log 8
b. log 1.000 – log 100
c. 3log 18 – 3log 6
Jawab :
a. 2log 16 – 2 log 8 = 2log (16/8) = 2log 2 = 1
b. log 1.000 – log 100 = log (1000/100) = log 10 = 1
c. 3log 18 – 3log 6 = 3log (18/6) = 3log 3 = 1

Sifat 3
alog xn = n . alog x
Contoh :
Sederhanakan!
a. 2 log 3 + 4 log 3
b. 2 log a + 2 log b
Jawab:
a. 2 log 3 + 4 log 3 = log 32 + log 34
= log 9 + log 81
= log 9 . 81
= log 729

b. 2 log a + 2 log b = log a2 + log b2
= log a2 . b2
= log (ab)2


Ingat :
1. log 2x = log x . log x = (log x)2
log x2 = 2 log x
Jadi log 2x ≠ log x2

2. Log -1x = (1/log x)
Log x-1 = log (1/x) = -log x
Jadi log -1x ≠ log x-1



Sifat 4
alog b x blog c = alog c
Contoh :
a. 3log 7 x 7log 81 = 3log 81 = 3log 34 = 4
b. 2log 5 x 5log 32 = 2log 32 = 2log 25 = 5

Sifat 5


Contoh :
3log 7 x 7log 81
Jawab :




Sifat 6
a alog x = x
Contoh :
Tentukan nilai dari bentuk logaritma berikut:
a. 55log 8
b. 42log 3
c. 93log 4
Jawab :
a. 55log 8 = 8
b. 42log 3 = 22.2log 3 = 22log 32 = 9
c. 93log 4 = 32.3log 4 = 33log 42 = 16

Sifat 7
anlog bm = (n/m)alog b
Untuk a dan b bilangan real positif, dan a ≠ 1

Contoh :
Hitunglah !
1. 4log 32
2. 8log 64
3. Jika 3log 5 = a hitunglah 25log 27
Jawab :
1. 4log 32 = 22log 25= 5/2
2. 16log 64 = 24log 26= 6/4 = 3/2
3. 25log 27 = 52log 33= (3/2)5log 3 = 3/2a

Pembahasan Problem Set 3 - Dasar (no.16-20)

no.16


Jawaban:C

no.17
AB(B-1 + A)(B – A-1 )
=AB( I – B-1 A-1 + AB–I)

= –I + ABAB

= ABAB – I
Jawaban:D

no.18

Jawaban:C

no.19

Jawaban:B

no.20

sin θ. cos θ=cos2θ
cos θ (sin θ – cos θ )=0
cos θ=0 atau cos θ=sin θ
θ=90°, atau θ=45°,

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 45°
Jawaban:C

Pembahasan Problem Set 3 - Dasar (no.11-15)

no.11


no.12

rata-rata (ẋ) yang mungkin adalah 36≤ ẋ ≤ 82

no.13

Titik minimum (4,0)
Nilai minimum = f(4,0)=2(4)+5(0)+3=11

no.14


Syarat:
-x2-4x+5 ≤ 0
-1(x2+4x-5) ≤ 0
-1(x-1)(x+5)≤ 0


Sehingga Himpunan penyelesaiannya adalah:
-5≤ x < -2


no.15



Syarat:

Kunci Jawaban UM STIS 2012

Kunci Jawaban UM STIS 2012
Buat temen-temen yang kemaren ikut ujian Stis, silahkan mencocokkan jawabannya dengan kunci jawaban berikut ini.

1. C 11. B 21. D31. D 41. C 51. C
2. C 12. A 22. B 32. D 42. B 52. D
3. C 13. D 23. E 33. D 43. C 53. B
4. - 14. D24. B 34. D 44. C 54. E
5. - 15. A 25. -35. A 45. C 55.
6. D 16. C 26. B36. E 46. B 56. B
7. C 17. C 27. - 37. - 47. D 57. E
8. D 18. A 28. D 38. C 48. E 58. D
9. A 19. B 29. -39. 49. 59. D
10. B 20. -30. D 40. E50. C 60. C


Ket: - (tidak ada jawaban)

Sementara saya cuma bisa memberikan kunci jawabannya saja, untuk pembahasan lengkapnya akan saya upload pada postingan berikutnya

Pembahasan Problem Set 3 - Dasar (no.6-10)

no.6

-5≤y≤-1

no.7
a.b.c.d.e=128
a.ar.ar2.ar3.ar4 = 128
a5.r(1+2+3+4) = 27
a5.r10 = 27
ar2 = 27/5
U3 = 27/5

no.8


no.9
x2+ax-a2=0
44)=(α22)2-2(αβ)2
=[(α+β)2-2αβ]2-2(αβ)2
=[a2+2a2 ]2-2(-a2)2
=9a4-2a4
=7a4


no.10

Pembahasan Problem Set 3 - Dasar (no1-5)

no. 1
alog ab = a dan 1/a log b2 = a-7, maka b-a=⋯


Sehingga: b - a = 9 - 3 = 6

no. 2


no. 3


no. 4


no. 5
*
(2/3)A - 5 = 15

(2/3)A =20

A = 30
*
1/2 (w+(1/3) A) =13

w+ (1/3)(30) =2(13)

w+10 =26

w =16
Selisih Kelereng = A-w=30-16=14

Pembahasan Problem Set 1 - Dasar (no.21-25)

no.21
x2 – 9x+k = 0 , dengan akar-akar p dan q
p+q = 9 → p = 9 – q

p, q, (p+q+3) Membentuk barisan Geometri
q2=p.12
q2=(9–q).12
q2+12q–12.9=0
(q+18)(q–6)=0
q=–18 atau q=6
*
Untuk q = –18 → p = 27

|p–q|=|27-(-18)|=45
*
Untuk q = –18 → p = 27

|p-q|=|3-(6)|=3

no.22
1/2 log(2x-1)≥ 1/4 log x
2-1 log(2x-1)≥ 2-2 log x
- 2log(2x-1)≥(-1/2)2log x
2 2log(2x-1)≤ 2log x
(2x-1)2 ≤ x
4x2 - 5x + 1 ≤ 0
(x-1)(4x-1) ≤0




no.23
a=3, r=2, dan S(n+2) = 381


no.24

Sehingga:


no.25
f(x)=2x
Sehingga:
f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)
= 2x + 2x+1+ 2x+2+ 2x+3

= 2x+ 2.2x+ 4.2x+ 8.2x

= (1+2+4+8)2x

= 15.2x

= 15.f(x)