Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a, b dan c ∈ riil) yaitu dengan menggunakan rumus abc:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b² – 4ac) yang disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac), dapat ditentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:

a.	Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
	Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional
	Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional
b.	Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c.	Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
Dengan menentukan nilai Diskriminan, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
b. 3x² – 5x + 2 = 0
c. 2x² + 3x + 4 = 0
d. 4x² – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
	= 9 + 112 = 121

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 3x² – 5x + 2 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –5, c = 1 maka

D	= (–5)2 – 4 ・ 3 ・ 2
	= 25 – 24 = 1

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x² – 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

c. 2x² + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ 4
	= 9 – 32 = –23

Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

d. 4x² – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka

D	= (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
	= 144 – 144 = 0

Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Ada empat cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu: dengan cara Memfaktorkan, Melengkapkan bentuk kuadrat (Kuadrat Sempurna), dan dengan menggunakan Rumus ABC.

1. Memfaktorkan
   
   ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + q/a) = 0
   ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
   
   dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
   persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
   (x + p)² = q² ® x + p = ± q
   x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
   ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
   
   bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D), Dengan kata lain D= b² - 4ac.
   Sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Contoh 1:

Tentukan akar-akar persamaan dari

Penyelesaian:

Cari dua angka yang jika dikalian sama dengan 3x15 atau 45, sedangkan jika bilangan tersebut ditambahkan sama dengan 14.

(.....) x (....) = 45 ® 5 x 9 = 45

(.....) + (....)= 14 ® 5 + 9 = 14

Sehingga

atau