Bentuk umum Fungsi kuadrat dan Karakteristiknya

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Pada Fungsi kuadrat, x ∈ R disebut domain (daerah asal) dan y ∈ R disebut Range (daerah hasil).

Kurva fungsi kuadrat y = ax² + bx + c berbentuk lintasan lengkung atau parabola simetris yang memiliki sifat-sifat / karakteristik sebagai berikut:

1.	Jika, a > 0, maka parabola terbuka ke atas. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.
2.	Posisi kurva/parabola suatu fungsi y = ax2 + bx + c terhadap sumbu x ditentukan oleh diskriminannya D = b2 – 4ac
	D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik
3.	Jika titik puncak parabola berada di sebelah kanan sumbu Y, maka nilai a dan b berlawanan. Sebaliknya jika titik puncak berada di sebelah kiri sumbu y maka nilai a dan b sama
4.	Parabola selalu memotong sumbu y di titik (0, c). Dengan kata lain, c merupakan titik potong dengan sumbu y. Jika memotong sumbu y positif maka c>0. Jika memotong sumbu y negatif maka c<0. Dan jika parabola memotong pusat ordinat maka c=0
5.	Titik Ekstrem (titik balik maksimum atau minimum) xe disebut sumbu simetri ye disebut nilai ekstrem (nilai stasioner, nilai minimum, nilai minimum)

Secara garis besar, parabola dapat di sketsakan sebagai berikut


Contoh Soal:
1. Tentukan koordinat titik puncak dari fungsi f(x) = 2x² - 4x + 1 !
penyelesaian;
a = 2, b = – 4 , c = 1
koordinat titik puncak ( x_e, y_e )

dengan demikian titik puncaknya adalah (1, -1)

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Berikut langkah-langkah menggambar grafik fungsi.
1. Tentukan titik potong terhadap sumbu x, jika belum diketahui cari terlebih dahulu, misalkan dengan menggunakan pemfaktoran.
2. Tentukan titik potong terhadap sumbu y, caranya dengan memasukkan nilai x=0 ke persamaan.
3. perhatikan koefisien dari x², yaitu a
jika a bernilai negatif (-), maka grafik fungsi terbuka ke atas.
Jika a bernilai positif (+), maka grafik fungsi terbuka ke bawah.
4. Menentukan nilai diskriminan D
jika D = 0, grafik akan menyinguung sumbu x
Jika D 0, grafik akan memotong sumbu x di dua titik
jika D 0, maka grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu x (melayang).

Contoh 1:
Perhatikan gambar berikut ini.
Grafik fungsi pada gambar mempunyai persamaan.....
a. y = 2 - 2x + 1/2 x²
b. y = 2 + 2x - 1/2 x²
c. y = 2 - 2x - 1/2 x²
d. y = -1/2 x²+ 2x - 2
e. y = -1/2 x²- 2x - 2
(Ujian Nasional 2006)


Penyelesaian:
Grafik diatas memiliki titik puncak (-2,0):

Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Penyusunan fungsi kuadrat dapat dikelompokan dalam tiga jenis sesuai titik-titik yang diketahui. Perhatikan skema berikut:

1. Jika diketahui titik puncak (p,q) dan satu titik sembarang, gunakan bentuk kuadrat sempurna y= a(x-p)² + q
2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik lain, gunakan bentuk Faktor y= a(x-x₁)(x-x₂)
3. Jika diketahui tiga titik sembarang, gunakan bentuk umum y= ax² + bx + c

Contoh:

Tentukan Fungsi kuadrat yang puncaknya P(-3,6) dan melalui (0,-3) !

Penyelesaian:

y = a(x-p)² + q, dengan p=-3 dan q=6

y = a(x+3)² + 6 melalui (0,-3), sehingga:

-3= a(0+3)² + 6

-3=9a + 6

9a=-9

a =-1

Jadi fungsi kuadratnya adalah

y= -(x+3)² + 6

y= -x² - 6x - 3

Selamat mencoba :)

Grafik fungsi kuadrat

Sebelum kita membahas lebih lanjut tentang grafik fungsi kuadrat, sebaiknya Anda ingat kembali mengenai pengertian fungsi atau pemetaan. Pada Gambar 3-1 dapat kita lihat diagram panah suatu relasi himpunan A ke himpunan B, dengan A = {c,d,e} dan B = {k,l,m,n}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan A dihubungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. relasi yang bersifat demikian disebut fungsi atau pemetaan.

Jadi, dapat dikatakan bahwa:
Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada himpunan B.


Gambar 3-1

Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambang
f: A B (dibaca: f memetakan A ke B).

Pada Gambar 3-1 di atas, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut:
f memetakan c A ke k B, dikatakan bahwa: k adalah peta c oleh f dan ditulis f (c) =k.
f memetakan d A ke l B, dikatakan bahwa: l adalah peta d oleh f dan ditulis f (d) = l.
f memetakan e A ke m B, dikatakan bahwa: m adalah peta e oleh f dan ditulis f(e) = m.

Apabila fungsi f memetakan setiap x A dengan tepat ke satu anggota y B, maka: f:x y (dibaca: y adalah peta dari x oleh f). Peta dari x A oleh fungsi f sering dinyatakan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus bagi fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f: x 3x+1 dengan x R maka dapat dinyatakan:
Rumus untuk fungsi f adalah f(x) = 3x + 1.
Peta dari 0 adalah f (0) = 3(0) + 1 = 0 + 1 = 1
Peta dari 1 adalah f(1) = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4
Peta dari 2 adalah f (2) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7, … dan seterusnya
Ingat bahwa f(0) adalah nilai f(x) untuk x = 0
Jadi, secara umum yang dimaksud f(a) = 3a + 1 adalah nilai fungsi f untuk x=a.
Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = 3x + 1.

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum:



dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0

Sifat-sifat:

1. Nilai , menentukan bentuk kurva. Kurva akan terbuka keatas jika , sehingga fungsi memiliki nilai minimum. Sedangkan kurva akan terbuka ke bawah, jika , sehingga fungsi memiliki nilai maksimum.
2. Nilai c, menentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu (0,c).
3. Nilai D, menentukan banyaknya titik potong dengan sb y. Kurva akan memotong di dua titik jika , kurva memotong disatu titik jika D=0, dan kurva tidak akan memotong sumbu x jika

Contoh:
Tentukan nilai s agar fungsi kuadrat berikut selalu bernilai positif.


Penyelesaian:
Fungsi kuadrat akan selalu bernilai positif ( definit positif) jika:

1. Nilai , dan
2. Nilai
   
   Sehingga atau