Barisan Geometri adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U1) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar2, ……, arn-1.
Sehingga Bentuk umum suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan :
| Un= arn-1 |
r = rasio
a = suku pertama
n = banyaknya suku
Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
sehingga diperoleh rumus untuk r :
| |
Contoh 1:
Tentukan rasio dan suku ke sepuluh dari barisan geometri berikut:
3, 12, 48, 192.....
Penyelesaian:
a = 3,
| Un | = | a.rn-1 |
| U10 | = | 3.410-1 |
| = | 3.49 |
Contoh 2:
Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri berikut:
Penyelesaian:
| Un | = | a.rn-1 |
| U8 | = | a.r8-1 |
| = | ||
| = | 3-4.37 | |
| = | 33 = 27 |
Contoh 3:
Suku ke-3 dan suku ke-6 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 5 dan 135. maka Suku ke-7 barisan tersebut adalah....
Penyelesaian:
U3 = 5 → ar2 = 5
| U6 | = | 135 |
| a r5 | = | 135 |
| a r2. r3 | = | 135 |
| 5. r3 | = | 135 |
| r3 | = | |
| r3 | = | 27 |
| r | = | 3 |
U8 = a.r7 = ar2. r5 = 5. 35 = 1215
Deret Geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri.
Bentuk baku deret geometri adalah: a + ar + ar2 + …… + arn-1 . Jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan Sn, dan dirumuskan:
| atau |
Sn = Jumlah sampai suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
n = banyaknya suku
Contoh 4:
Tentukan jumlah 6 suku pertama pada deret berikut:
2 + 4 + 8 + 16 + ....
Penyelesaian:
a = 2, r = 4:2 = 2
| Sn | = | |
| S6 | = | |
| | = | |
| = | 2(63) | |
| = | 126 |
Latihan Soal:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.
2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768
3. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,
12, 24, ........
4. Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui sebagai berikut:
| a. | U1 = 2, U3 = 8 |
| b. | U1 = 4U3, U4 = ¼ |
| c. | U1 = 36, U4 = –12 |
| d. | U1.U5 = 16, U2 + U4 = 10 |
| e. | U1 + U6 = 244, U3.U4 = 243 |
6. Carilah nilai x jika barisan berikut adalah barisan geometri.
| a. | x + 1, x – 1, dan x – 5 |
| b. | 2x, x2 dan 8x |
| c. | 4 + x, 3 + 3x dan 1 + 7x |
| d. | x – 1, 2x – 8 dan 5 – x |
| e. | 2x – 5, x – 4 dan 10 – 3x |
8. Sebuah mobil harganya Rp. 200.000.000,- setiap tahun harga mobil itu menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya.
a. Hitunglah harga mobil pada akhir tahun ke-1, 2, 3, dan 4.
b. Jika setelah n tahun harga mobil itu adalah Mn, tunjukkan bahwa Mn = Rp. 200.000.000,- x (0,9)n
9. Pada sebuah deret geometri dibutuhkan U1 + U2 = 4, Un-1 + Un = 108 dan Sn = 121. tentukan a dan r
10. Uang sebesar Rp. 2.000.000,- diinvestasikan pada tiap awal tahun dengan mendapat bunga majemuk 12% pertahun. Hitunglah seluruh uang tersebut pada akhir tahun ketujuh.
11. x1 dan x2 adalah akar-akar bulat dari persamaan x2 – (2k + 4)x + (3k + 4) = 0. Jika x1, k dan x2 merupakan tiga suku pertama barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.
12. Di antara bilangan 12 dan 224 disisispkan 3 bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah suku-suku barisan tersebut.
13. Diantara setiap dua suku berurutan pada deret geometri 7 + 28 + 112 + …… sampai 6 suku disisipkan sebuah suku sehingga diperoleh deret geometri baru. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.
14. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian yang masing-masing panjangnya membentuk barisan geometri. jika panjang tali yang terpendek adalah 2 meter dan yang terpanjang 64 meter. Tentukan panjang tali semula.
