Persentil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti halnya pada pengertian kuartil dan desil, persentil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 100 bagian yang sama banyaknya.
1) Persentil untuk data tunggal
Letak persentil dirumuskan dengan:


Keterangan: P_i = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak persentil ke-30 di urutan data ke- 3(10 +1)/100 = 33/100 = 3,3.
P30 = x3 + 0,3 (x4 – x3) = 5 + 0,3 (6 – 5) = 5,3
Jadi, P30 = 5,3.
Letak persentil ke-75 di urutan data ke- 75(10 +1)/100 = 8,25.
P75 = x8 + 0,25 (x9 – x8) = 9 + 0,25 (10 – 9) = 9,25
Jadi, P75 = 9,25.

2) Persentil untuk data bergolong
persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Dari data di atas tentukan:
a. persentil ke-25
b. persentil ke-60

Penyelesaian:

a. Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:


b. Letak P60 = ⋅ (60/100). 40 = 24, yaitu data ke-24 dan kelas P60 = 56 – 60 sehingga diperoleh:


Latihan soal:

1. Tentukan P₁, P₁₄, dan P₇₀ dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah P₅, P₂₀, dan P₅₀ dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah P₈ dan P₃₄ dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
4. Tentukan P₁₁ dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan P₂₁ dan P₆₂ dari data berikut ini.

Desil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D₁), desil ke-2 (D₂), desil ke-3 (D₃) dan seterusnya sampai D₉.

1) Desil untuk data tunggal
Nilai D₁, D₂, D₃, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
D_i = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan desil ke-1 dan desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-1 diurutan data ke-1/10 (10 + 1)=11/10=1,1
D₁ terletak pada urutan ke-1,1 sehingga: D₁ = x₁ + 0,1 (x₂ – x₁).
Jadi D₁ = 5 + 0,1 (5 – 4) = 5 + 0,1 = 5,1.
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D₄ terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D₄ = x₄ + 0,4 (x₅ – x₄).
Jadi D₄ = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:

Dari data di atas tentukan:
a. desil ke-2
b. desil ke-9
Penyelesaian:

a. Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

b. Letak D9 = (9/10).40 = 36, yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 80 – 89 sehingga diperoleh:



Latihan soal:

1. Tentukan D₁, dan D₆ dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah D₄ dan D₇ dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah D₁, D₃, dan D₉, dari data berikut.
   10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
4. Tentukan D₁, D₂, dan D₅ dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan D₁ dan D₇ dari data berikut ini.

Quartil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
x_min = data terkecil
x_maks = data terbesar
Q₁ = kuartil ke-1
Q₂ = kuartil ke-2
Q₃ = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.


Contoh 1
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

Contoh 2
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Penyelesaian
Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
Letak Q₁ adalah: 1/4(14 + 1) = 15/4 =3,75 sehingga:
Q₁ = x₃ + 3/4 (x4 – x3) = 4 +0,75 (4 – 4) = 4
Letak Q₂ adalah: 2/4(14 + 1) = 15/2 = 7,5 sehingga:
Q₂ = x₇ + 0,5 (x7 – x6) = 7 + 0,5 (7 – 7) = 7
Letak Q₃ adalah: 3/4 (14 + 1) = 11,25 sehingga:
Q₃ = x₁₁ + 0,25(x12 – x11) = 8 + 0,25 (9 – 8) = 8,25.
Jadi Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 8,25.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh 3:
Tentukan Q₁ (kuartil bawah), Q₂ (median), dan Q₃ (kuartil atas) dari data tes
Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q₁ pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Letak Q₂ pada frekuensi = 1/2 .(40) = 20, di kelas 60 – 69.

Letak Q₃ pada frekuensi = 3/4 ⋅ (40) = 30, di kelas 70 – 79.




Latihan soal:

1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah Q1 dan Q3 dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah Q1, Q2, dan Q3 dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
4. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut ini.

Ukuran Letak pada Statistika

Selain ukuran pemusatan data (yang telah kita bahas pada postingan sebelumnya), ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak ini meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

A. Quartil (Q)
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
x_min = data terkecil
x_maks = data terbesar
Q₁ = kuartil ke-1
Q₂ = kuartil ke-2
Q₃ = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.


Contoh soal
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Contoh :
Tentukan Q₁ (kuartil bawah) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q₁ pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.

3) Jangkauan interkuartil dan semi interkuartil
a) Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, dilambangkan dengan J.

J = xmaks – xmin

b) Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama:

H = Q3 – Q1

c) Jangkauan semi interkuartil (Qd) atau simpangan kuartil dirumuskan:

Qd = 1/2 (Q3 – Q1)

d) Langkah (L) adalah satu setengah dari nilai jangkauan interkuartil:


B. Desil
1) Desil untuk data tunggal
Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D₁), desil ke-2 (D₂), desil ke-3 (D₃) dan seterusnya sampai D₉.
Sehingga penentuan nilai D₁, D₂, D₃, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
D_i = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan: desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D₄ terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D₄ = x₄ + 0,4 (x₅ – x₄).
Jadi D₄ = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Dari data di atas tentukan desil ke-2
Penyelesaian:

Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan lengkapnya di sini.

C. Presentil
1) Persentil untuk data tunggal
Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil.
Letak persentil dirumuskan dengan:

Keterangan: P_i = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

2) Persentil untuk data berkelompok
persentil ke-i dari data ber kelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Dari data di atas tentukan persentil ke-25

Penyelesaian:

Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.

Menghitung Ukuran Pemusatan Data (Bagian 2)

Seperti janji saya kemarin, kali ini kita akan mempelajari contoh soal dalam menghitung nilai median, sekaligus melanjutkan pembahasan materi kemarin.

Contoh soal.
Tentukan median dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA yang digambarkan pada tabel distribusi frekuensi di samping.

Penyelesaian
Banyaknya data ada 40 sehingga letak mediannya pada frekuensi (1/2).40=20.



c. Modus
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.
Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1
Tentukan modus dari data di bawah ini.
5, 5, 6, 4, 3, 7, 8, 9, 10, 6, 4, 3, 6, 8, 5, 5
Penyelesaian
Data yang sering muncul adalah 5. Jadi modusnya adalah 5

Contoh soal 2
Tentukan modus dari data di bawah ini.

Penyelesaian
Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6.
Jadi, modusnya adalah 6.

2) Modus data berkelompok
Modus data bergolong dirumuskan sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal
Tentukan modus dari tabel di bawah ini.

Penyelesaian:
Frekuensi modusnya 18,
kelas modusnya 65 – 69, dan
tepi bawah frekuensi modus (b) = 65 - 0,5 = 64,5
d₁ = 18 – 6 = 12
d₂ = 18 – 9 = 9
l = 69,5 – 64,5 = 5


sumber: bse-nugroho

Menghitung Ukuran Pemusatan Data (Bagian 1)

Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu rangkaian data adalah suatu nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatan ini.
Ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data dapat digunakan untuk menganalisis data lebih lanjut. Ukuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median, dan modus.

a. Rataan Hitung (Mean )
Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang x .
1) Rataan data tunggal
Rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut.
Penyelesaian:

Jadi, rataannya adalah 6,0.

2) Rataan dari data distribusi frekuensi
Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskan sebagai berikut.sebagai berikut.


Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal
Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.
Penyelesaian
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.

Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.

3) Mean data berkelompok
Rata-rata untuk data berkelompok pada hakikatnya sama dengan menghitung rata-rata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai xi. Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal
Tentukan rataan dari data berikut ini.


Penyelesaian

Jadi, rataannya adalah 51.

Selain dengan cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rataan yaitu dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.
a. Menentukan rataan sementaranya.
b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.
c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.
d. Menghitung rataan sesungguhnya.


b. Median
1) Median untuk data tunggal
Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me. Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:


Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh 1
Dari data di bawah ini, tentukan mediannya.
1. 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Penyelesaian
1. Data diurutkan menjadi:

Jadi, mediannya adalah 6.
Contoh 2.
Tentukan median dari data dibawah ini.

Penyelesaian:
Banyaknya data n = 50 (genap), digunakan rumus:


2) Median untuk data berkelompok
Jika data yang tersedia merupakan data bergkelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.




Wahhh udah kesiangan, kita lanjutkan pembahasan kita ini besok saja ya...
InsyaAllah, besok akan saya berikan contoh soal untuk menentukan median dari data berkelompok sekaligus kita lanjutkan pembahasan kita hari ini.


Sumber: bse-nugroho