Volume Benda Putar (SP 6)

Pembahasan Soal Pelatihan 6
12 SMA – IPA

No. 1
Daerah dibatasi oleh kurva y=2, dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o




No. 2
Daerah dibatasi oleh garis y=2x+2, y=x+5 dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°



No. 3
Daerah dibatasi oleh kurva y=-x²+3, sumbu x, sumbu y dan garis x=1 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 4
Daerah dibatasi oleh parabola y=-x²+3x, dan garis y=x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 5
Daerah dibatasi oleh kurva y=1/x, garis y=x, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 6
Daerah dibatasi oleh kurva y=sin x, sumbu x , pada interval 0≤x≤π, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 7
Daerah dibatasi oleh kurva y² = x, sumbu y, dan garis y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 8
Daerah dibatasi oleh kurva y=x², y=4x² dan garis y=4 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 9
Daerah dibatasi oleh kurva y = x³ dan garis x=1, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°





No. 10
Daerah dibatasi oleh kurva y= x² , sumbu y dan garis x+y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°






Untuk mengunduh pembahasan diatas, klik disini

Menentukan Luas Daerah (bagian I)

Salah satu penggunaan integral adalah untuk menentukan Luas daerah oleh kurva. Ada beberapa kemungkinan daerah yang akan dicari luasnya, yaitu Luas Daerah diatas sumbu x, Luas Daerah dibawah sumbu x, dan Luas Daerah diantara dua kurva, selain itu Luas daerah juga dapat di hitung dengan menggunakan acuan sumbu y. Mari kita bahas satu persatu:

Luas daerah diatas sumbu x
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b dapat kita ilustrasikan seperti gambar di bawah ini.


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah dibawah sumbu x
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah seperti gambar berikut ini:


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah di antara dua kurva
Sedangkan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g (x) , dan dibatasi oleh a ≤ x ≤ b adalah


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:



Contoh 1 :
Tentukanlah luas dari daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 3, sumbu x, dan ordinat-ordinat x = 1 dan x = 4.

Penyelesaian.
y = 2x + 3 merupakan suatu garis lurus seperti pada gambar dibawah ini:

Dengan integrasi, luas daerah yang diarsir

Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Trapesium (masih ingat rumusnya kan??)

Luas trapesium	=	1/2(jumlah sisi sejajar).(tinggi)
	=	1/2(5+11)(3)
	=	24 satuan luas

contoh 2:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² + 2x dengan sumbu x

penyelesaian:

Integral Bentuk akar

Bentuk 1
Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk , kita dapat memisalkan pⁿ=ax+b.

contoh 1:
Tentukanlah nilai dari
ʃ

Penyelesaian:
Misalkan p²=x+1. → 2p dp=dx dan x=p²-1
sehingga:

ʃ	=	ʃ(p2-1)2p.2p dp
	=	ʃ(p4-2p2+1)2p2 dp
	=	ʃ(2p6-4p4+2p2) dp
	=	(2/7)p6-(4/5)p4+(2/3)p2+ C
	=	(2/7)(x+1)6-(4/5)(x+1)4+(2/3)(x+1)2+ C

Bentuk 2
Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk , ; dan kita dapat memisalkan bentuk diatas berturut-turut menjadi x=a sin t; x=a tan t; x=a sec t.

contoh 2:
Tentukanlah nilai dari


Penyelesaian:
Misalkan x=2 sin t → dx=2 cos t dt dan x²=4sin² t.
sehingga:

	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=	2t+sin 2t+C

Latihan Soal:
Tentukanlah nilai dari