Letak suatu Titik Terhadap Lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0
Hampir sama dengan yang sebelumnya cara menentukan letak titik terhadap lingkaran x² + y² = r². Letak titik A(m,n) terhadap x² + y² + Ax + By + C = 0 , ditentukan oleh hasil subtitusi (nilai kuasa) titik tersebut terhadap lingkaran.

Jika x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka titik berada pada lingkaran. Jika x2 + y2 + Ax + By + C > 0, maka titik berada di luar lingkaran Jika x2 + y2 + Ax + By + C < 0, maka titik berada di dalam lingkaran.

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0
a. A(-1,3)
b. B(0,2)

Penyelesaian:
a. A(-1,3)
(-1)² + 3² - 2.(-1) - 4.3 + 1 = 1 + 9 + 2 - 12 + 1 = 1 > 0,
titik berada di luar lingkaran
b. B (0,2)
(0)² + 2² -2.(0) - 4.2 + 1 = 0 + 4 - 0 - 8 + 1 = -3 < 0
titik berada di dalam lingkaran


Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar titik S berada di dalam lingkaran.

Penyelesaian:
titik S(m,1) di dalam lingkaran
x² + y² - 2x + 6y - 15 < 0
m² + 1² - 2m + 6(1) - 15 < 0
m² - 2m - 8 < 0
(m - 4)(m + 2) < 0

titik S(m,1) di dalam lingkaran untuk -2 < m <4

Perbandingan Trigonometri

perbandingan trigonometri sudut θ

Nilai sin 60°, cos 60° maupun tan 60° dapat kita hitung dengan bantuan suatu segitiga khusus. Perhatikan segitiga ABC berikut.







Begitu pula nilai dari sin 45°, cos 45° dan tan 45° dapat kita cari dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku sama kaki. Perhatikan uraian berikut ini.










Nah, begitulah hingga kemudian diperoleh harga trigonometri untuk sudut-sudut istimewa seperti pada tabel dibawah ini. (Dihafalkan ya...)

Bentuk umum Fungsi kuadrat dan Karakteristiknya

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Pada Fungsi kuadrat, x ∈ R disebut domain (daerah asal) dan y ∈ R disebut Range (daerah hasil).

Kurva fungsi kuadrat y = ax² + bx + c berbentuk lintasan lengkung atau parabola simetris yang memiliki sifat-sifat / karakteristik sebagai berikut:

1.	Jika, a > 0, maka parabola terbuka ke atas. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.
2.	Posisi kurva/parabola suatu fungsi y = ax2 + bx + c terhadap sumbu x ditentukan oleh diskriminannya D = b2 – 4ac
	D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik
3.	Jika titik puncak parabola berada di sebelah kanan sumbu Y, maka nilai a dan b berlawanan. Sebaliknya jika titik puncak berada di sebelah kiri sumbu y maka nilai a dan b sama
4.	Parabola selalu memotong sumbu y di titik (0, c). Dengan kata lain, c merupakan titik potong dengan sumbu y. Jika memotong sumbu y positif maka c>0. Jika memotong sumbu y negatif maka c<0. Dan jika parabola memotong pusat ordinat maka c=0
5.	Titik Ekstrem (titik balik maksimum atau minimum) xe disebut sumbu simetri ye disebut nilai ekstrem (nilai stasioner, nilai minimum, nilai minimum)

Secara garis besar, parabola dapat di sketsakan sebagai berikut


Contoh Soal:
1. Tentukan koordinat titik puncak dari fungsi f(x) = 2x² - 4x + 1 !
penyelesaian;
a = 2, b = – 4 , c = 1
koordinat titik puncak ( x_e, y_e )

dengan demikian titik puncaknya adalah (1, -1)

Volume Benda Putar (SP 6)

Pembahasan Soal Pelatihan 6
12 SMA – IPA

No. 1
Daerah dibatasi oleh kurva y=2, dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o




No. 2
Daerah dibatasi oleh garis y=2x+2, y=x+5 dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°



No. 3
Daerah dibatasi oleh kurva y=-x²+3, sumbu x, sumbu y dan garis x=1 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 4
Daerah dibatasi oleh parabola y=-x²+3x, dan garis y=x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 5
Daerah dibatasi oleh kurva y=1/x, garis y=x, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 6
Daerah dibatasi oleh kurva y=sin x, sumbu x , pada interval 0≤x≤π, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 7
Daerah dibatasi oleh kurva y² = x, sumbu y, dan garis y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 8
Daerah dibatasi oleh kurva y=x², y=4x² dan garis y=4 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 9
Daerah dibatasi oleh kurva y = x³ dan garis x=1, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°





No. 10
Daerah dibatasi oleh kurva y= x² , sumbu y dan garis x+y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°






Untuk mengunduh pembahasan diatas, klik disini

Menentukan Luas Daerah (bagian I)

Salah satu penggunaan integral adalah untuk menentukan Luas daerah oleh kurva. Ada beberapa kemungkinan daerah yang akan dicari luasnya, yaitu Luas Daerah diatas sumbu x, Luas Daerah dibawah sumbu x, dan Luas Daerah diantara dua kurva, selain itu Luas daerah juga dapat di hitung dengan menggunakan acuan sumbu y. Mari kita bahas satu persatu:

Luas daerah diatas sumbu x
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b dapat kita ilustrasikan seperti gambar di bawah ini.


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah dibawah sumbu x
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah seperti gambar berikut ini:


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah di antara dua kurva
Sedangkan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g (x) , dan dibatasi oleh a ≤ x ≤ b adalah


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:



Contoh 1 :
Tentukanlah luas dari daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 3, sumbu x, dan ordinat-ordinat x = 1 dan x = 4.

Penyelesaian.
y = 2x + 3 merupakan suatu garis lurus seperti pada gambar dibawah ini:

Dengan integrasi, luas daerah yang diarsir

Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Trapesium (masih ingat rumusnya kan??)

Luas trapesium	=	1/2(jumlah sisi sejajar).(tinggi)
	=	1/2(5+11)(3)
	=	24 satuan luas

contoh 2:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² + 2x dengan sumbu x

penyelesaian:

Persentil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti halnya pada pengertian kuartil dan desil, persentil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 100 bagian yang sama banyaknya.
1) Persentil untuk data tunggal
Letak persentil dirumuskan dengan:


Keterangan: P_i = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak persentil ke-30 di urutan data ke- 3(10 +1)/100 = 33/100 = 3,3.
P30 = x3 + 0,3 (x4 – x3) = 5 + 0,3 (6 – 5) = 5,3
Jadi, P30 = 5,3.
Letak persentil ke-75 di urutan data ke- 75(10 +1)/100 = 8,25.
P75 = x8 + 0,25 (x9 – x8) = 9 + 0,25 (10 – 9) = 9,25
Jadi, P75 = 9,25.

2) Persentil untuk data bergolong
persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Dari data di atas tentukan:
a. persentil ke-25
b. persentil ke-60

Penyelesaian:

a. Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:


b. Letak P60 = ⋅ (60/100). 40 = 24, yaitu data ke-24 dan kelas P60 = 56 – 60 sehingga diperoleh:


Latihan soal:

1. Tentukan P₁, P₁₄, dan P₇₀ dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah P₅, P₂₀, dan P₅₀ dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah P₈ dan P₃₄ dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
4. Tentukan P₁₁ dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan P₂₁ dan P₆₂ dari data berikut ini.