Panjang Vektor atau Modulus Vektor

Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai

Panjang atau besar dari ruas garis berarah dilambangkan dengan |r|


Dari gambar di atas, didapat hubungan:
OR² = OA² + OB²
OR² = x² + y²
OR = √(x² + y²)
Dengan demikian, panjang adalah:

|OR| = √(x² + y²)
Jadi, besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus:
|r| = √(x² + y²)

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan mewakili vektor r, maka vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai
.
Panjang atau besar ruas garis berarah ditulis sebagai || atau OR.



Berdasarkan gambar di atas diperoleh hubungan:
OR² = OD² + DR² ...................... (1)
Sedangkan OD² = OA² + OB²
OD² = x² + y²
dan DR² = z²
Substitusi OD² dan DR² ke persamaan (1) diperoleh
OR² = x² + y² + z²
Dengan demikian


Jadi, besar atau panjang vektor r (x, y, z) dapat ditentukan dengan rumus


Contoh:
Diketahui vektor-vektor

Hitunglah|2a - b|
Jawab:

|2a - b| = √[(-1)² + 6² + (-5)²)]= √(1+36+25)= √72
Jadi, panjang vektor 2a - b adalah |2a - b| = √72 satuan panjang

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor

Penjumlahan Vektor
Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.



1. Aturan Segitiga
Definisi:
Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w =u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.


2. Aturan Jajargenjang
Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan jajargenjang (paralelogram).


Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor
a. Komutatif : u + v = v + u
b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)
c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku hubungan : 0 + v = v + 0 = v
d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.

Pengurangan Vektor
Definisi:
Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh
u - v = u + (-v)

Pengertian Vektor

Pengertian Vektor
Besaran ada dua macam, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar selalu dikaitkan dengan suatu bilangan yang merupakan nilai dari besaran itu, contoh: tekanan, massa, waktu, dsb. Sedangkan Besaran Vektor, selain mempunyai nilai ia juga mempunya arah. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.


Ruas garis OA pada gambar adalah suatu vektor dengan O sebagai titik pangkal (initial point) dan A sebagai titik ujung (terminal point).

Penulisan vektor
Suatu vektor biasanya dinotasikan dengan huruf kecil tebal, misalnya a. Selain itu vektor juga dapat dinotaasikan dengan menuliskan ruas garis yang disertai dengan tanda anak panah diatasnya. Misalkan ruas garis AB yang dinotasikan dengan vektor AB. Vektor AB dan BA mempunyai panjang yang sama tetapi berlawanan arah.

Kesamaan Vektor

Dua vektor u dan v dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis u = v (perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar b. Misalnya wakil dari vektor u dan wakil dari vektor v, maka u = v (u sama dengan atau ekivalen v) sebab dan mempunyai arah dan panjang yang sama.

Jika dan ,
maka = = dan =

Artinya: vektor sejajar dengan vektor
besaran sama dengan besaran