Letak suatu Titik Terhadap Lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0
Hampir sama dengan yang sebelumnya cara menentukan letak titik terhadap lingkaran x² + y² = r². Letak titik A(m,n) terhadap x² + y² + Ax + By + C = 0 , ditentukan oleh hasil subtitusi (nilai kuasa) titik tersebut terhadap lingkaran.

Jika x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka titik berada pada lingkaran. Jika x2 + y2 + Ax + By + C > 0, maka titik berada di luar lingkaran Jika x2 + y2 + Ax + By + C < 0, maka titik berada di dalam lingkaran.

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0
a. A(-1,3)
b. B(0,2)

Penyelesaian:
a. A(-1,3)
(-1)² + 3² - 2.(-1) - 4.3 + 1 = 1 + 9 + 2 - 12 + 1 = 1 > 0,
titik berada di luar lingkaran
b. B (0,2)
(0)² + 2² -2.(0) - 4.2 + 1 = 0 + 4 - 0 - 8 + 1 = -3 < 0
titik berada di dalam lingkaran


Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar titik S berada di dalam lingkaran.

Penyelesaian:
titik S(m,1) di dalam lingkaran
x² + y² - 2x + 6y - 15 < 0
m² + 1² - 2m + 6(1) - 15 < 0
m² - 2m - 8 < 0
(m - 4)(m + 2) < 0

titik S(m,1) di dalam lingkaran untuk -2 < m <4

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik pusat. Dengan memperhatikan persamaan lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r², maka titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut menunjukkan himpunan titik yang terdapat pada lingkaran tersebut.

1. Posisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Dapat dirumuskan sebagai berikut:
• Titik A(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a² + b² < r²
• Titik A(a,b) terletak pada lingkaran L ↔ a² + b² = r²
• Titik A(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a² + b² > r²
Perhatikan gambar berikut :


contoh:
diketahui lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25. selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran.
a. (1,2)
b. (3,4)
c. (-6,1)
penyelesaian:
untuk menyelidiki letak titik-titik terhadap lingkaran, kita harus mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan lingkaran.
a. subtitusikan titik (1,2) ke x² + y² = 25
1² + 2² = 1 + 4 = 5 < 25
titik (1,2) terletak di dalam lingkaran
b. subtitusikan titik (3,4) ke x² + y² = 25
3² + 4² = 9 + 16 = 25
titik (3,4) terletak pada lingkaran
c. subtitusikan titik (-6,1) ke x² + y² = 25
(-6)² + 1² = 36 + 1 = 37 > 25
titik (-6,1) terletak di luar lingkaran

2. Posisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L ≡ (x – a)² + (y – b)² = r²
Dapat dirumuskan sebagai berikut:
• Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika:
(h – a)² + (k – b)² < r²
• Titik P(h,k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika:
(h – a)² + (k – b)² = r²
• Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran L jika dan hanya jika:
(h – a)² + (k – b)² > r²
Perhatikan gambar berikut :


contoh:
diketahui lingkaran dengan persamaan (x + 2)² + (y – 1)² = 16. selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran.
a. (1,2)
b. (-2,5)
c. (4,4)
penyelesaian:
untuk menyelidiki letak titik-titik terhadap lingkaran, kita harus mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan lingkaran.
a. subtitusikan titik (1,2) ke (x + 2)² + (y – 1)² = 16
(1 + 2)² + (2 – 1)² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10 < 16
titik (1,2) terletak di dalam lingkaran
b. subtitusikan titik (-2,5)ke (x + 2)² + (y – 1)² = 16
titik (-2,5) terletak pada lingkaran
c. subtitusikan titik (4,4) ke (x + 2)² + (y – 1)² = 16
(4 + 2)² + (4 – 1)²=(6)² + 3² = 36 + 9 = 45 > 16
titik (4,4) terletak di luar lingkaran

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran x² + y² +Ax + By +C = 0
....

Oke, sekian dulu. Untuk Letak suatu Titik Terhadap lingkaran x² + y² +Ax + By +C = 0 akan kami bahas pada posting berikutnya.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk baku persamaan lingkaran :
● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r : L ≡ x² + y² = r²
● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r : L ≡ (x – a)² + (y – b)² = r²

Contohnya :
Tentukan persamaan Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4...

Penyelesaian:
L ≡ (x – 1)² + (y – 2)² = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :
L ≡ (x – 1)² + (y – 2)² = 16
L ≡ (x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) = 16
L ≡ x² + y² – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :
x² + y² + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)
atau
Ax² + Ay² + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0


Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah
L ≡ x² + y² + Ax + By – C = 0
Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :
● Pusat lingkaran di ((-A/2),(-B/2))
● Jari-jari lingkaran r = √(-A/2)² + (-B/2)² - C)

Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:
x² + y² + 4x - 6y - 12 =0

penyelesaian:
P((-4/2), -(-6/2)) = (-2, 3)
r = √((-2)² + 3² - (-12))= √(4 + 9 +12) = √25 = 5

Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r


Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
OP =√(OP’)²+(PP’)²
Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
r = √x²+y²
r² = x² + y²
x² + y² = r²


Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x² + y² = r² berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :

x2 + y2 = r2

contoh 1:
tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 3 dan berpusat di titik asal
penyelesaian:
x² + y² = 3²
x² + y² = 9

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran.

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)² + (PP’)²
r² = √(x – a)² + (y – b)²
r² = (x – a)² + (y – b)²
(x – a)² + (y – b)² = r²

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)² + (y – b)² = r² berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

contoh 2:
tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 dengan pusat (3,-2)
penyelesaian:
(x-3)² + (y+2)² = 5²
(x-3)² + (y+2)² = 25